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凯利公式

2023/03/31

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(何鸿燊,1921-2020)

（约翰·拉里·凯利）

凯利公式的发明人，凯利，其实并不是一个资深赌徒，相反，他是一位著名的物理学家，他发明这个公式的时候正是著名贝尔实验室中的一名研究科学家。

接下来我们就拿上面两只小仓鼠说的100元的对赌游戏来举个栗子吧：

前提是：你本金一共100元，下注多少赢多少，也赔多少，但胜率是60%

如果你下注80元，有60%的胜率，如果赢了，你将赢得80元，加上原来的本金100元，你的资本增加到了180元；

但如果你输了，那么你损失了80元，你的本金将缩减到只剩20元了。

凯利公式到底是怎么样的呢？其实凯利公式一点都不难理解，下面的公式就是著名的凯利公式（也叫凯利方程式）：

那么上面的凯利公式中的各个因子分别代表了什么意思呢？下面我们就为大家详细解析一下凯利公式中的这些因子的具体含义：

p 代表每一场获胜的概率
q 代表每一场失败的概率（q=1-p，如果p是70%，那么q就是30%）
b 代表“赔率”，也就是盈亏比（下注多少赢多少的情况就是赔率为1）
f 代表每次下注金额占总资金的百分比

现在我们把刚才的例子代入凯利公式里来看一下结果吧：

由于是下注多少赢多少，输赢都是相等的，所以赔率b是1，胜率p是60%，那么输的概率就是1-60%=40%。

代入凯利公式中为：

通过凯利公式我们终于知道，当我们的本金是100元的时候，最好的下注策略是投入总金额的20%，也就是20元。

如果我们运气好，第一次就赢了，那么我们的总金额就变成了120元，下一次我们需要下注的金额就是120元的20%，也就是24元；

如果我们运气比较差，下注的第一次就输了，那么我们的总金额就只剩下80元了，下一次我们再下注的话，下注金额就是80元的20%，也就是16元。

以此类推，不管输赢，通过凯利公式我们知道，每次投入总金额的20%就是最优策略。

例如，中国国足和宇宙豪门巴萨要进行一场足球比赛，很显然，大家都知道巴萨和国足根本不在一个水平等级，巴萨比国足强太多了，但问题是，就算大家都知道巴萨比国足厉害太多太多（螳臂当车，蚍蜉撼树，关公面前耍大刀），你还是无法计算出巴萨对国足的准确胜率是多少（虽然我内心的想法可能是无限接近100%），但左右足球比赛胜负的因素太多了，爆冷门和黑天鹅事件的发生概率在足球比赛史上也不算少见。